Banach空间上有界算子代数的理想结构

我们构造了一个Banach空间 $Z$，使得 $Z$ 上有界算子的Banach代数 $\mathscr{B}(Z)$ 的闭双边理想格如下： \{0\}\subset \mathscr{K}(Z)\subset\mathscr{E}(Z) \raisebox{-.5ex}% {\ensuremath{\overset{\begin{turn}{30}$\subset$\end{turn}}% {\begin{turn}{-30}$\subset$\end{turn}}}}\!\!% \begin{array}{c}\mathscr{M}_1\[1mm]\mathscr{M}_2\end{array}\!\!\!% \raisebox{-1.25ex}% {\ensuremath{\overset{\raisebox{1.25ex}{\ensuremath{\begin{turn}{-30}$\subset$\end{turn}}}}% {\raisebox{-.25ex}{\ensuremath{\begin{turn}{30}$\subset$\end{turn}}}}}}\,\mathscr{B}(Z) 然后我们确定了 $\mathscr{B}(Z)$ 的四个非平凡闭理想各自包含何种近似单位元（有界/左/右），并证明了极大理想 $\mathscr{M}_1$ 作为左理想可由两个算子生成，但不能由单个算子生成，从而回答了我们与Dales、Kochanek和Koszmider合作（\emph{Studia Math.} 2013）中留下的一个开放问题。相比之下，另一个极大理想 $\mathscr{M}_2$ 作为左理想不是有限生成的。Banach空间 $Z$ 是Argyros和Haydon的Banach空间 $X_{\text{AH}}$（其上算子极少）与 $X_{\text{AH}}$ 的某个子空间 $Y$ 的直和。$Y$ 的关键性质是，从 $Y$ 到 $X_{\text{AH}}$ 的每个有界算子都是包含映射的标量倍数与一个紧算子的和。