闭子理想 $\mathcal L(X)$ 的结构

Banach 代数 $\mathcal L(X)$ 中有界线性算子集合的闭子代数 $\mathcal J$ 若满足: $\mathcal I$ 为 $\mathcal L(X)$ 的闭理想，$\mathcal J$ 为 $\mathcal I$ 的理想但 $\mathcal J$ 不是 $\mathcal L(X)$ 的理想，则称 $\mathcal J$ 为非平凡的闭 $\mathcal I$ 子理想。我们给出不同空间 $X$ 上非平凡闭子理想的多种示例，这些示例进一步突显了与闭理想类之间的显著差异。我们研究闭 $n$ 子理想的概念，其中 $n \ge 3$，这是闭子理想的一个自然推广。特别地，我们找到具体的空间 $X$，使得 $\mathcal L(X)$ 包含一个递减序列 $(\mathcal M_n)_{n\in \mathbb N}$ 的闭子代数，其中对于所有 $n\in\mathbb N$，子代数 $\mathcal M_n$ 是 $(n+1)$ 子理想但不是 $n$ 子理想。此外，我们构造包含在紧算子 $\mathcal K(X)$ 中的闭 $n$ 子理想，适用于某些 Banach 空间 $X$，这些空间不具备逼近属性。