某些测度Banach代数中特殊线性群由初等矩阵生成

对于交换含幺环$R$及$n\in \mathbb{N}$,令$\textrm{SL}_n(R)$表示$R$上的特殊线性群,$\textrm{E}_n(R)$表示初等矩阵子群。令${\mathcal{M}}^+$为$[0,+\infty)$上所有复Borel测度构成的Banach代数,其范数由全变差给出,具有通常的加法与数乘运算以及卷积运算。本文证明,对于${\mathcal{M}}^+$中在运算${\mathcal{M}}^+\owns \mu \mapsto \mu_t$($t\in [0,1]$)下封闭的Banach子代数$A$,有$\textrm{SL}_n(A)=\textrm{E}_n(A)$,其中对$t\in [0,1)$及$[0,+\infty)$的Borel子集$E$定义$\mu_t(E):=\int_E (1-t)^x d\mu(x)$,且$\mu_1:=\mu(\{0\})\delta$,这里$\delta\in {\mathcal{M}}^+$为Dirac测度。给出了许多此类Banach代数$A$的说明性例子。还给出了一个不包含上述封闭性但仍满足$\textrm{SL}_n(A)=\textrm{E}_n(A)$的Banach子代数$A\subset {\mathcal{M}}^+$的例子。