关于系数置换下 Dirichlet 级数不变代数

设 $\mathscr O_u$ 为定义在 ${\bf C}_+:=\{s\in{\bf C}:\text{Re }s>0\}$ 上全纯函数的代数，这些函数是 Dirichlet 级数 $D=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$, $s\in \bf{C}_+$, 在 $\bf{C}_+$的 proper 半平面上均匀收敛的极限。我们研究 $\mathscr O_u$ 的子代数的代数拓扑性质：巴拿赫代数 $\mathscr W, \mathscr A, \mathscr H^\infty$ 以及Frechet 代数 $\mathscr O_b$。其中 $\mathscr W$ 由在 ${\bf C}_+$闭合区域上绝对收敛的 Dirichlet 级数组成的函数构成，$\mathscr A$ 是 $\mathscr W$ 的均匀闭包，$\mathscr H^\infty$ 是 $\mathscr O_u$ 中有界函数的代数，$\mathscr O_b$ 是所有满足 $f_r\in \mathscr H^\infty$, $r\in (0,1)$, 且 $f_r(s):=\sum_{n=1}^\infty a_n r^{\Omega(n)} n^{-s}$ 的函数的集合，其中 $\Omega(n)$ 为 $n$ 的素因子个数。设 S_\bf{N} 为 $\bf{N}$ 的置换群。每个 \sigma\in S_\bf{N} 确定一个置换 \hat\sigma\in S_\bf{N}（即满足 $\hat\sigma(mn)=\hat\sigma(n)\hat\sigma(m)$ 对所有 $m,n\in \bf{N}$ 成立），通过基本算术定理实现。对于 Dirichlet 级数 $D=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ 和 \sigma \in S_\bf{N}，定义 $S_\sigma(D)=\sum_{n=1}^\infty a_{\hat{\sigma}^{-1}(n)} n^{-s}$，这给出了 S_\bf{N} 对所有 Dirichlet 级数的作用。我们证明上述各代数均对该作用不变。给定 S_\bf{N} 的一个子群 $G$，我们研究这些代数的 $G$ 不变子代数，并描述其最大理想空间，用于特征化单位群和可逆元素的群，求稳定秩，说明射影自由性，以及描述特殊线性群由初等矩阵生成的情况，并给出因子数的界。