Dirichlet 问题与算子代数的谱理论

本文的主要结果是将 Dirichlet 问题从（有界开区域 $U$ 的）闭包推广到复平面上的任意紧子集 $X$，即证明了在 $X$ 的邻域内调和的函数空间（配备 $X$ 上的上确界范数）的闭包，与其 Shilov 边界（$X$ 的给定紧子集）上的连续函数空间 $C(\delta X)$ 是等距同构的。这一结果被用于定义关于单式算子代数 $A$ 中某些（弱正规）元素 $x$ 的全纯函数演算的扩展，使其成为进入 $A$ 的包络算子系统的完全等距调和函数演算。此外，还证明了对于超 $C^*$-代数 $A$（带对合的算子代数），任何弱正规超正元素 $x$ 在 $A$ 中均存在平方根。