由 Dirichlet 级数生成的有限阶全纯函数

给定频率 $\lambda = (\lambda_n)$ 与 $\ell \ge 0$，我们引入开右半平面 $[Re > 0]$ 上全纯函数 $f$ 的 Banach 空间尺度 $H_{\infty,\ell}^{\lambda}[Re > 0]$，这些函数满足 $(A)$ 增长条件 $|f(s)| = O((1 + |s|)^\ell)$，且 $(B)$ 具有 Riesz 芽，即在某个开子集上且对某个 $m \ge 0$，函数 $f$ 与某 $\lambda$-Dirichlet 级数 $\sum a_n e^{-\lambda_n s}$ 的所谓 $(\lambda,m)$-Riesz 平均 $\sum_{\lambda_n < x} a_n e^{-\lambda_n s}\big( 1-\frac{\lambda_n}{x}\big)^m ,\,x >0$（当 $x \to \infty$ 时）的点态极限一致。用我们的术语重述，M. Riesz 的一个重要结果表明，在此情形下函数 $f$ 对每个 $k >\ell$ 都是 $D$ 在 $[Re > 0]$ 上的 $(\lambda,k)$-Riesz 平均的点态极限。我们的主要贡献是一项推广——表明“平移之后” $H_{\infty,\ell}^{\lambda}[Re > 0]$ 中的每个有界集都可被其阶 $k>\ell$ 的 $(\lambda,k)$-Riesz 平均一致逼近。这源于一个适当的最大值定理，而该定理事实上是 $H_{\infty,\ell}^{\lambda}[Re > 0]$ 这一看似有趣的结构理论的核心。众多推论之一便是，$H_{\infty,\ell}^{\lambda}[Re > 0]$ 基本由那些在 $[Re >0]$ 上具有 Riesz 芽且在 $[Re >0]$ 上具有限一致阶 $\ell$ 的全纯函数构成。为建立上述及更多结果，我们需要重组（并改进）由 Hardy 与 M. Riesz 创立的广义 Dirichlet 级数 Riesz 可和性经典理论的各个方面与基石。