狄利克雷级数的希尔伯特空间与 $L^2(0,1)$ 中的伸缩函数系

对于 $L^2(0,1)$ 中的一个函数 $\varphi$,将其延拓为周期为 2 的奇周期函数到整个实直线,我们探讨当伸缩函数族 $\varphi(nx)$($n=1,2,3,\ldots$)在 $L^2(0,1)$ 中构成里斯基或完全列时的条件。该问题转化为关于狄利克雷级数 $f(s)=\sum_n a_nn^{-s}$ 的希尔伯特空间 $\cal H$ 中乘子与循环向量的问题,其中系数 $a_n$ 是平方可和的。将 $\cal H$ 建模为多圆盘的高维 $H^2$ 空间,或等价地,特征标空间的 $H^2$ 空间是有用的,其中特征标是从正整数到单位圆的乘性同态。对给定的 $f\in\cal H$ 与特征标 $\chi$,$f_\chi(s)=\sum_na_n\chi(n)n^{-s}$ 是 $f$ 的垂直极限函数。我们研究了这些垂直极限函数的某些概率性质。