Dirichlet 级数 $H^2$ 空间上复合算子的逼近数

根据 Gordon 和 Hedenmalm 的定理，$\varphi$ 在 Dirichlet 级数 $\sum_n b_n n^{-s}$ 且系数 $b_n$ 平方可和的 Hilbert 空间 $\mathscr{H}^2$ 上生成有界复合算子，当且仅当 $\varphi(s)=c_0 s+\psi(s)$，其中 $c_0$ 为非负整数，$\psi$ 为具有以下映射性质的 Dirichlet 级数：若 $c_0=0$，$\psi$ 将右半平面映射到半平面 $\operatorname{Re} s >1/2$；若 $c_0$ 为正，$\psi$ 恒为零或将右半平面映射到自身。本文证明了 $\mathscr{H}^2$ 上有界复合算子的第 $n$ 个逼近数在 $c_0=0$ 时具有下界常数倍 $r^n$（对某个 $0<r<1$），在 $c_0$ 为正时具有下界常数倍 $n^{-A}$（对某个 $A>0$）。这两个结果都是最优的。本文深入讨论了 $c_0=0$、$\psi$ 有界且在右半平面边界处光滑，且 $\sup \operatorname{Re} \psi=1/2$ 的情形；该情形既包含非紧算子的例子，也包含属于所有 Schatten 类 $S_p$ 的算子的例子。对于 $\varphi(s)=c_1+\sum_{j=1}^d c_{q_j} q_j^{-s}$ 且 $q_j$ 为独立整数的情形，本文证明了第 $n$ 个逼近数的行为表现为 $n^{-(d-1)/2}$，可能相差一个因子 $(\log n)^{(d-1)/2}$。这些估计主要依赖于涉及再生核有限线性组合的一般 Hilbert 空间方法。最近发展的一种利用 $\bar{\partial}$ 方程解的估计的 $\mathscr{H}^2$ 插值方法发挥了关键作用。最后，通过从单位圆盘 $H^2$ 的转移原理，展示了逼近数以本质上任意亚指数速率衰减的紧复合算子的显式例子。