Dirichlet 级数的 Bohr-Bergman 空间上的复合算子

对于 $\alpha \in \mathbb{R}$，令 $\mathscr{D}_\alpha$ 表示由满足 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2/[d(n)]^\alpha < \infty$ 的 Dirichlet 级数 $f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ 组成的 Hilbert 空间尺度。关于 $\mathscr{H}^2=\mathscr{D}_0$ 上复合算子的 Gordon--Hedenmalm 定理被推广到了 Bergman 情形 $\alpha>0$。这些复合算子由形式为 $\Phi(s) = c_0 s + \varphi(s)$ 的函数生成，其中 $c_0$ 是非负整数，$\varphi(s)$ 是具有特定收敛性和映射性质的 Dirichlet 级数。对于 $c_0=0$ 的算子，发现了一个新现象：如果 $0 < \alpha < 1$，复合算子将空间 $\mathscr{D}_\alpha$ 映射到同一尺度中一个更小的空间；当 $\alpha > 1$ 时，空间 $\mathscr{D}_\alpha$ 被映射到同一尺度中一个更大的空间。此外，除了获得关于 $p$ 为奇数时 Dirichlet--Hardy 空间 $\mathscr{H}^p$ 上复合算子的新部分结果外，还获得了关于 $1 \leq p < \infty$ 的 Dirichlet--Bergman 空间 $\mathscr{A}^p$ 上复合算子的部分描述。