Dirichlet级数代数上的复合算子

Dirichlet级数代数$\mathcal{A}(\mathcal{C}_{+})$由那些在右半平面$\mathcal{C}_{+}$收敛且在其上一致连续的Dirichlet级数构成。该代数最近由Aron、Bayart、Gauthier、Maestre与Nestoridis引入。我们刻画了给出$\mathcal{A}(\mathcal{C}_{+})$中有界复合算子$\mathit{C}_{\Phi}$的符号$\Phi:\mathcal{C}_{+}\to\mathcal{C}_{+}$，并将此类记为$\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$。我们也刻画了算子$\mathit{C}_{\Phi}$在$\mathcal{A}(\mathit{C}_{+})$中紧的条件。作为推论，我们表明对$\mathit{C}_{\Phi}$弱紧等价于紧。接着，讨论了Dirichlet级数Banach空间中几类复合算子符号在局部一致收敛下的闭包。我们还建立了类$\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$中解析函数的连续半群$\{\Phi_{t}\}$与复合算子的强连续半群$\{T_{t}\}$（$T_{t}f=f\circ\Phi_{t}$，$f\in\mathcal{A}(\mathcal{C}_{+})$）之间的一一对应。最后给出例子说明$\mathcal{A}(\mathcal{C}_{+})$中有界复合算子的符号与Dirichlet级数的Hardy空间$\mathcal{H}^{p}$和$\mathcal{H}^{\infty}$的符号之间的差异。