Dirichlet级数$H^p$空间上复合算子的逼近数

根据Bayart的一个定理，$\varphi$在Dirichlet级数的Hardy空间$\Hp$（$1\le p<\infty$）上生成有界复合算子仅当$\varphi(s)=c_0 s+\psi(s)$，其中$c_0$是非负整数，$\psi$是具有如下映射性质的Dirichlet级数：若$c_0=0$，则$\psi$将右半平面映射到半平面$\Real s >1/2$；若$c_0$为正，则$\psi$要么恒为零，要么将右半平面映射到自身。我们证明了当$c_0=0$时，$\Hp$上有界复合算子的第$n$个逼近数下方有界于某个常数乘以$r^n$（$0<r<1$）；当$c_0$为正时，下方有界于某个常数乘以$n^{-A}$（$A>0$）。这两个结果都是最优的。估计依赖于Banach空间理论中的软工具（$s$-数、Banach空间的类型与余类型、Weyl不等式和Schauder基）以及一种针对$\Ht$的插值方法（该方法在早期论文中通过估计$\overline{\partial}$方程的解而发展起来）。我们讨论了从单位圆盘$H^p$的转移原理，从而得到了$\Ho$上紧复合算子的显式例子，其逼近数以各种次指数速率衰减。最后，我们建立了一个新的Littlewood–Paley公式，给出了$\Hp$上复合算子为紧的充分条件。