Hardy 空间 $H^p$ 上复合算子的刚性

设 $\phi$ 是一个将单位圆盘 $\mathbb{D}$ 映入自身的解析映射。我们证明，对于 $1\le p < \infty$ 且 $p \neq 2$，复合算子类 $f \mapsto C_\phi(f) = f \circ \phi$ 在 Hardy 空间 $H^p$ 上表现出相当强的非紧性行为刚性。我们的主要结果是以下三分法，它断言恰好有以下三种选择之一成立：(i) $C_\phi$ 是一个紧算子 $H^p \to H^p$，(ii) $C_\phi$ 在 $H^p$ 中固定了一个（线性同构的）$\ell^p$ 的副本，但 $C_\phi$ 不在 $H^p$ 中固定任何 $\ell^2$ 的副本，(iii) $C_\phi$ 在 $H^p$ 中固定了一个 $\ell^2$ 的副本。此外，在情况 (iii) 中，若 $p > 1$，算子 $C_\phi$ 实际上在 $H^p$ 中固定了一个 $L^p(0,1)$ 的副本。我们用 $H^p$ 上有界线性算子的范数闭理想重新解释了这些结果，这些理想包含紧算子 $\mathcal K(H^p)$。特别地，$H^p$ 上的复合算子类并不反映此类理想相当复杂的格结构。