狄利克雷级数小 Bergman 空间上复合算子的迭代

由满足 $\sum_{ n=1 }^\infty | a_n |^2/ w_n < \infty$ 的狄利克雷级数 $F(s)=\sum_{ n = 1}^\infty a_n n^{ -s }$ 组成的 Hilbert 空间 $\mathscr{H}_{w}$，其中 $\{w_n\}_n$ 的平均阶为 $\log_j n$（即 $n$ 的 $j$ 重对数），可以嵌入到某些小 Bergman 空间。利用这一嵌入，我们从迭代的视角研究此类 $\mathscr{H}_w$ 上的 Gordon--Hedenmalm 定理。根据该定理，复合算子由形如 $\Phi(s) = c_0s + \phi(s)$ 的函数生成，其中 $c_0$ 是非负整数，$\phi$ 是具有特定收敛性和映射性质的狄利克雷级数。当 $c_0=0$ 时会出现迭代现象。对于每一个整数 $j\geqslant 1$、实数 $\alpha>0$ 以及平均阶为 $(\log_j^+ n)^\alpha$ 的 $\{w_n\}_{n}$，我们验证了复合算子将 $\mathscr{H}_w$ 映射到一族 $\mathscr{H}_{w'}$ 中，其中 $w_n'$ 的平均阶为 $( \log_{j+1}^+n)^\alpha$。情形 $j=1$ 可由 Bailleul 和 Brevig 最近一篇论文的主定理证明推出，我们采用相同的方法研究一般的迭代步骤。