复合材料有效算子理论中的希尔伯特空间框架

在本章中，介绍用于研究有效算子性质的复合材料数学理论中的希尔伯特空间框架。目标是介绍该领域的一些关键概念和基本定理，同时表明它们源自对希尔伯特空间上基本算子论结果的自然推导。这些概念包括将常数方程定义为以希尔伯特空间上界线性算子表示并带有霍奇分解的 Z 问题，以及具有 Z 问题对偶性解释的直接和对偶 Z 问题，以及 n 相复合材料的正交 Z(n) 子空间集合概念。这些定理包括 Z 问题及其有效算子解的存在唯一性充分条件、有效算子作为算子 Schur 补的表示公式、有效算子的 Dirichlet 和 Thomson 最小化原理、有效算子映射的单调性与凹性结果，以及 Keller-Dykhne-Mendelson 对偶关系。此外，本文给出的另一个重要定理（可能也对系统理论家具有独立的兴趣）表明，具有正交 Z(n) 子空间集合的 n 相复合材料的有效算子是规范齐次半正定算子铰的 Schur 补（特别是具有 Bessmertny\u{\i} 实现），且反过来在酉等价下也成立。最后，展示本文所述的一般理论能够恢复处理有效导电性的经典结果，还可应用于诸多涉及物理和工程领域复合材料的重要问题，例如弹性和电磁学问题。