周期膨胀完备性问题：无穷维多圆盘上 Hardy 空间中的循环向量

由 Beurling 以及独立地由 Wintner 提出的经典完备性问题询问对于哪些 $\psi\in L^2(0,1)$，膨胀系统 $\{\psi(kx):k=1,2,\cdots\}$ 在 $L^2(0,1)$ 中完备，其中 $\psi$ 被等同于其在 $\mathbb{R}$ 上的奇 $2$-周期函数延拓。这一困难问题现今通常被称为周期膨胀完备性问题(PDCP)。通过 Beurling 的思想和 Bohr 变换的应用，PDCP 被转化为一个等价问题，即刻画无穷维多圆盘上 Hardy 空间 $\mathbf{H}_\infty^2$ 中针对坐标乘算子的循环向量。在本文中，我们获得了关于 Hardy 空间 $\mathbf{H}_\infty^2$ 中循环向量的许多新结果。在几乎所有有趣的情形中，我们得到了刻画循环向量的充分必要条件，从而在这些情形中完全解决了 PDCP。我们的结果涵盖了此前关于该主题几乎所有已知结果。