Dirichlet 型空间中的循环性与极值多项式 II：双圆盘上的函数

我们研究了单位双圆盘上解析函数的 Dirichlet 型空间 $\mathfrak{D}_{\alpha}$ 及其循环元。这些是指存在双变量多项式序列 $(p_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得当 $n\to \infty$ 时 $\|p_nf-1\|_{\alpha}\to 0$ 的函数 $f$。我们获得了若干蕴含循环性的条件，并利用关于单复变函数 Hilbert 空间的结果以及单变量与双变量范数之间的比较，针对某些函数类，就 $p_n$ 的次数而言，获得了范数 $\|p_nf-1\|_{\alpha}$ 最佳可能衰减速率的尖锐估计。我们给出了在双圆盘上无零点但在 $\alpha>1/2$（包括 Dirichlet 空间）时在 $\mathfrak{D}_{\alpha}$ 中非循环的多项式示例；这与单变量情形形成对比，在单变量情形中，所有非零多项式在不构成代数的 Dirichlet 型空间（$\alpha\le 1$）中都是循环的。此外，我们指出了在双圆盘设定下，零集满足零容量条件（在适当意义上）对于循环性的必要性，最后陈述了一些开放问题。