Cantor 集的 Riesz $\alpha$-容积与 Dirichlet 型空间中的循环性

我们考察 Dirichlet 型空间 $\mathcal{D}_{\alpha}$ 中函数的循环性阈值。给定固定 $\alpha^{*}\in(0,1]$，我们构造一个函数 $f\in\mathcal{D}_{\alpha^{*}}$，其在所有 $\alpha<\alpha^{*}$ 时在 $\mathcal{D}_{\alpha}$ 中循环，但在 $\mathcal{D}_{\alpha^{*}}$ 中不循环。该函数为 $\alpha^{*}$ 临界指数处循环性的持久性提供反例。在整个构造过程中，我们使用广义 Cantor 集并研究其 Riesz $\alpha$-容积。