与古典逼近性质相关的Banach算子理想商代数

我们研究Banach算子理想$\mathcal I$包含在紧算子理想中时的商代数$\mathfrak{A}_X^{\mathcal I}:=\mathcal I(X)/\overline{\mathcal F(X)}^{\|\cdot\|_{\mathcal I}}$,其中$X$是一个不满足$\mathcal I$-逼近性质的Banach空间。主要结果涉及拟$p$-核算子$\mathcal{QN}_p$与Sinha-Karn $p$-紧算子$\mathcal{SK}_p$对应的幂零商代数$\mathfrak A_X^{\mathcal{QN}_p}$和$\mathfrak A_X^{\mathcal{SK}_p}$。结果包括如下内容:(i) 若$X$具有cotype 2,则对每个$p\ge 1$有$\mathfrak A_X^{\mathcal{QN}_p}=\{0\}$;(ii) 若$X^*$具有cotype 2,则对每个$p\ge 1$有$\mathfrak A_X^{\mathcal{SK}_p}=\{0\}$;(iii) 对$p\neq 2$,$\mathfrak A_X^{\mathcal{QN}_p}$与$\mathfrak A_X^{\mathcal{SK}_p}$的幂零指数精确上界为$\max\{2,\left \lceil p/2 \right \rceil\}$,其中$\left \lceil p/2 \right \rceil$表示满足$n\ge p/2$的最小$n\in\mathbb N$;(iv) 对每个$p>2$,存在闭子空间$X\subset c_0$使得$\mathfrak A_X^{\mathcal{QN}_p}$与$\mathfrak A_X^{\mathcal{SK}_p}$均包含一个可数无穷递减的闭理想链。此外,我们的方法给出一个闭子空间$X\subset c_0$,使得紧-可逼近代数$\mathfrak A_X=\mathcal K(X)/\mathcal A(X)$包含两个不可比较的可数无穷幂零闭理想链。