精确算子空间

在本文中,我们研究由 Blecher-Paulsen [BP] 与 Effros-Ruan [ER1] 近期发展的理论意义下的算子空间(operator spaces)。所谓算子空间,我们指一个闭子空间 $E\subset B(H)$,其中 $H$ 为 Hilbert 空间。我们此处主要关注有限维算子空间的“几何”。在 Banach 空间范畴中,众所周知每个可分空间等距嵌入 $\ell_\infty$。 moreover,若 $E$ 是有限维赋范空间,则对每个 $\vp>0$,存在整数 $n$ 与子空间 $F\subset \ell^n_\infty$ 使得其与 $E$ $(1+\vp)$-同构,即存在同构 $u\colon\ E\to F$ 满足 $\|u\|\ \|u^{-1}\|\le 1+\vp$。这里当然 $n$ 依赖于 $\vp$,记 $n=n(\vp)$,且通常(例如若 $E = \ell^k_2$)当 $\vp\to 0$ 时我们有 $n(\vp)\to \infty$。颇为有趣的是,这一事实在算子空间范畴中不成立:尽管每个算子空间完全等距嵌入 $B(H)$($\ell_\infty$ 的非交换类比),但有限维算子空间必在某种 $n$ 下接近于 $M_n$($\ell^n_\infty$ 的非交换类比)的子空间这一结论并不为真。本文的主要目的即是研究这一现象。