无限维中的梅克斯纳型多项式——雅可比场与正交测度

经典的梅克斯纳型多项式——Hermite、Charlier、Laguerre、Meixner 以及 Meixner–Pollaczek 多项式——通过其生成函数的特殊形式而著称，该生成函数涉及它们正交测度的拉普拉斯变换。在本文中，我们研究后三类多项式在无限维中的类比。我们取一个（非紧）黎曼流形 $X$ 及其上的强度测度 $\sigma$ 作为底层空间。我们考虑在 $L^2(X;\sigma)$ 上的扩展 Fock 空间中的雅可比场，其在点 $x\in X$ 处的场算子形如 $\di_x^\dag+\lambda\di_x^\dag \di_x+\di_x+\di^\dag_x\di_x\di_x$，其中 $\lambda$ 为实参数。这里，$\di_x$ 与 $\di_x^\dag$ 分别是点 $x$ 处的湮灭算符与创生算符。随后我们将场算子实现为 $L^2({\cal D}';\mu_\lambda)$ 中的乘法算子，其中 ${\cal D}'$ 是 ${\cal D}{:=}C_0^\infty(X)$ 的对偶，$\mu_\lambda$ 是雅可比场的谱测度。我们证明 $\mu_\lambda$ 在 $|\lambda|=2$ 时为 gamma 测度，在 $|\lambda|>2$ 时为 Pascal 测度，在 $|\lambda|<2$ 时为梅克斯纳测度。在所有情形中，$\mu_\lambda$ 都是 Lévy 噪声测度。扩展 Fock 空间与 $L^2({\cal D}';\mu_\lambda)$ 之间的同构由无限维梅克斯纳型多项式给出。我们找到了这些多项式的生成函数，并利用它研究了算子 $\di_x$ 与 $\di_x^\dag$ 在函数实现中的作用。