关于 L 形弧的 Marcinkiewicz-Zygmund 不等式与 $A_p$-权

设 $\Gamma$ 为复 $z$-平面 $\CC$ 中由两条以不等于 $\pi$ 的夹角相交的线段构成的 $L$ 形弧。本文研究在 Fej\'er 点处多项式插值子的性质，这些点由对任意选取的 $\theta$ 所定义的 $\{z_{n,k} = \psi(e^{i(2k\pi + \theta)/(n+1)})\}$ 给出。就此而言，我们回顾：对于区间 [-1, 1]，Fej\'er 点 $\{z_{n,k} = \psi^*(e^{i(2k+1)\pi/(n+1)})\}$ 与 Chebyshev 点一致，且 Chebyshev 点最常被用作 Lagrange 多项式插值的节点。另一方面，数值实验表明，对于典型的开 $L$ 形弧 $\Gamma$，当多项式次数 $n$ 增大时，Lebesgue 常数以 $O((log(n))^2)$ 的速率趋于 $\infty$，而 Fej\'er 点 $\{z_{n,k}\}$ 的 $A_{p}$-权条件并不能从 [-1, 1] 延续到真正的 $L$ 形弧。进一步的数值实验还表明，在 $\{z_{n,k}\}$ 处标准 Lagrange 插值多项式的 Marcinkiewicz-Zygmund 不等式的最小上界，对于某个依赖于 $p >1$ 的 $\beta >0$，似乎以 $n^{\beta}$ 的速率增长。