向量值 Lagrange 插值及 Hermite 级数的平均收敛

设 X 为 Banach 空间且 $1\le p<\infty$。我们证明了对 X 值多项式 g（次数 $\le n$）在 $R$ 上的 Marcinkiewicz-Zygmund 型插值不等式，$$c_p (\sum\limits_{i=1}^{n+1} \mu_i \| g(t_i)e^{-t_i^2 /2} \|^p)^{1/p} \le (\int\limits_{\RR}^{} \|g(t)e^{-t^2 /2} \|^p dt)^{1/p} \le d_p (\sum\limits_{i=1}^{n+1} \mu_i \|g(t_i)e^{-t_i^2 /2} \|^p)^{1/p}\;\;,$$其中 $(t_i)_1^{n+1}$ 为 Hermite 多项式 $H_{n+1}$ 的零点，$(\mu_i)_1^{n+1}$ 为适当权函数。右端不等式成立要求 $1<p<4$ 且 X 为 UMD 空间。这蕴含了在 Hermite 多项式零点处取值的 $R$ 上连续函数的 Lagrange 插值多项式的平均收敛定理。在标量情形，这改进了 Nevai $[$N$]$ 的结果。此外，我们给出了 Askey-Wainger $[$AW$]$ 在 Hermite 展开情形平均收敛结果的向量值推广。