扩展任意子 Fock 空间与无限维非交换 Meixner 型正交多项式

设 $\nu$ 为 $\mathbb R$ 上的有限测度，其拉普拉斯变换在零的邻域内解析。$(\mathbb R^d,dx)$ 上的任意子 Lévy 白噪声是 $L^2(\mathbb R^d\times\mathbb R,dx\otimes\nu)$ 上任意子 Fock 空间中一族特定的非对易算子 $\langle\omega,\varphi\rangle$。此处 $\varphi=\varphi(x)$ 遍历 $\mathbb R^d$ 上的测试函数空间，而 $\omega=\omega(x)$ 被解释为 $\mathbb R^d$ 上的算子值分布。令 $L^2(\tau)$ 为由变量 $\langle \omega,\varphi\rangle$ 的多项式代数生成的非交换 $L^2$-空间，其中 $\tau$ 为真空期望态。我们在 $L^2(\tau)$ 中构造了形式为 $\langle P_n(\omega),f^{(n)}\rangle$ 的非交换正交多项式，其中 $f^{(n)}$ 是 $(\mathbb R^d)^n$ 上的测试函数。利用这些正交多项式，我们导出了 $L^2(\tau)$ 与 $L^2(\mathbb R^d,dx)$ 上的扩展任意子 Fock 空间（记为 $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$）之间的酉同构 $U$。$L^2(\mathbb R^d,dx)$ 上的通常任意子 Fock 空间（记为 $\mathcal F(L^2(\mathbb R^d,dx))$）是 $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ 的子空间。此外，当且仅当测度 $\nu$ 集中于一点时（即高斯/泊松情形），才有等式 $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))=\mathcal F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ 成立。利用酉同构 $U$，我们将算子 $\langle \omega,\varphi\rangle$ 实现为 $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ 中的 Jacobi（即三对角）场。我们推导了一类 Meixner 型任意子 Lévy 白噪声，其在 $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ 中相应的 Jacobi 场具有相对简单的结构。