关于 Stone 定理的量子随机推广的综述

从 Kümmer 对平稳马尔可夫过程的研究中，浮现出一种算子代数意义下的白噪声定义，它涵盖了经典与非交换概率中的许多例子。在与白噪声相关联的非交换 $L^p$ 空间中，（非）交换 Lévy 过程的作用由白噪声移位的加性余圈扮演，并且经典 Lévy 过程指数的概念由酉余圈推广。作为主结果，我们报告了白噪声移位的加性余圈与酉余圈之间的双射对应。若要求余圈可微，则所呈现的对应退化为 Stone 定理（针对范数连续酉群）。该对应需要发展关于具有 $L^\infty$ 有界协方差算子的加性余圈的背景结果：算子值随机 Itô 积分、二次变差与非交换鞅不等式以及随机微分。我们报告了相关结果以及近期针对具有无界方差算子的加性余圈情形的进展。