由斯特姆-刘维尔问题定义的一类扩展正交多项式

我们给出了一个斯特姆-刘维尔问题的两个无穷多项式本征函数序列。与经典正交多项式系统不同，这些序列从一次多项式开始。我们将这些多项式记为$X_1$-雅可比多项式和$X_1$-拉盖尔多项式，并证明它们在紧区间$[-1,1]$或半直线$[0,\infty)$上关于某个正定内积是正交的，并且它们是相应$L^2$希尔伯特空间的一组基。此外，我们证明了一个类似于经典正交多项式系统博赫纳定理的逆命题：如果一个自伴二阶算子具有一组完备的多项式本征函数$\{p_i\}_{i=1}^\infty$，那么它要么是$X_1$-雅可比斯特姆-刘维尔问题，要么是$X_1$-拉盖尔斯特姆-刘维尔问题。对于这两个$X_1$多项式序列，可以推导出罗德里格斯型公式。