拟正交多项式的正交性

Pólya的一个结果表明，每一列具有$n$个节点和正数的求积公式$Q_n(f)$都收敛到连续函数$f$的积分$I(f)$，只要对依赖于$n$的某一阶代数多项式空间有$Q_n(f)=I(f)$。代数精度达到最高可能的经典情形是众所周知的，此时的求积公式即高斯公式，其节点与相应正交多项式的零点重合，而求积系数用所谓的核多项式表示。在许多情况下，放宽对最高可能精度的要求以换取要么能近似含多项式因子的更特定连续函数的积分、要么能包含额外的固定节点，是合理的。此类求积过程的构造与拟正交多项式相关。给定首一正交多项式序列$\left \{ P_{n}\right \}_{n\geq0}$和一个固定整数$k$，我们建立使拟正交多项式$\left \{ Q_{n}\right \}_{n\geq0}$（定义为$Q_{n}(x) =P_{n}(x) + \sum \limits_{i=1}^{k-1} b_{i,n}P_{n-i}(x), \ \ n\geq 0$，其中$b_{i,n} \in \mathbb{R}$，且对$n\geq k-1$有$b_{k-1,n}\neq 0$）也构成正交多项式序列的充要条件。因此我们解决了线性相关正交多项式的逆问题。该表征等价于系数$b_{i,n}$的一些良好递推公式。我们利用这些结果建立了上述关系下各类求积法则之间的显式联系。文中给出了若干说明性例子。