由拟正交超球多项式构造的正交序列

令 $\displaystyle \{x_{k,n-1}\} _{k=1}^{n-1}$ 和 $\displaystyle \{x_{k,n}\} _{k=1}^{n},$ $n \in \mathbb{N}$, 为两组满足交错性质 $x_{i,n}<x_{i,n-1}< x_{i+1,n}, \, \, \, i = 1,2,\dots,n-1$ 的实相异点。Wendroff 证明若 $p_{n-1}(x) = \displaystyle \prod _{k=1}^{n-1} (x-x_{k,n-1})$ 且 $p_n(x) = \displaystyle \prod _{k=1}^n (x-x_{k,n})$，则 $p_{n-1}$ 和 $p_n$ 可嵌入一个非唯一的首一正交序列 $\{p_{n}\} _{n=0}^\infty.$ 我们研究 Mourad Ismail 在 OPSFA 2015 提出的一个问题，即关于将 Wendroff 定理应用于 $C_{n-1}^{\lambda}(x)$ 与 $(x^2-1) C_{n-2}^{\lambda}(x)$ 的交错零点所生成的正交序列的性质，其中 $\{C_{k}^{\lambda}(x)\} _{k=0}^\infty$ 是首一超球多项式序列且 $-3/2 < \lambda < -1/2,$ $\lambda \neq -1.$ 我们构造了一种算法，从两个多项式 $D_n^{\lambda} (x): = (x^2-1) C_{n-2}^{\lambda} (x)$ 和 $D_{n-1}^{\lambda} (x): = C_{n-1}^{\lambda} (x)$ 生成无穷首一正交序列 $\{D_{k}^{\lambda}(x)\} _{k=0}^\infty$，该算法适用于范围 $n \in \mathbb{N}, n \geq 5$ 与 $\lambda > -3/2$, $\lambda \neq -1,0, (2k-1)/2, k=0,1,\ldots$ 中每对固定参数 $n,\lambda$。我们绘制并比较了对于若干 $m \in \mathbb{N}$ 的选择以及参数 $\lambda$ 和 $n$ 的一系列取值下 $D_m^{\lambda} (x)$ 与 $C_m^{\lambda} (x)$ 的零点。对于 $-3/2 < \lambda < -1,$ 当 $m$ 较大时 $D_m^{\lambda} (x)$ 与 $C_m^{\lambda} (x)$ 的零点所逼近的曲线差异显著。当 $-1 < \lambda < -1/2,$ 两条曲线形状相似，而对于 $\lambda >-1/2$ 曲线几乎一致。