关于某些矩阵代数集维数的注记

在这篇简短的注记中，我们证明了一个关于某些矩阵代数集维数的引理。该结果是我们在论文arXiv:1201.1672中所需要的。此处给出的结果在其他情形中也有应用，因此它应作为更大工作的一部分出现。引理陈述如下：设 $X$ 是 $n \times m$ 复矩阵仿射空间的一个非空代数闭子集。设 $X$ 是列不变的（即，属于 $X$ 仅取决于矩阵的列空间）。设 $E$ 是 $\mathbb{C}^n$ 的一个向量子空间，不包含于 $X$ 中任何矩阵的列空间内。则 $codim(X) \geq m + 1 - dim(E)$。证明很简单，依赖于格拉斯曼流形的相交理论（“Schubert演算”）。