关于某些二阶线性递推序列的剩余个数

对于每个首一多项式 $f \in \mathbb{Z}[X]$ 满足 $\operatorname{deg}(f) \geq 1$，令 $\mathcal{L}(f)$ 为所有取值于 $\mathbb{Z}$ 且特征多项式为 $f$ 的线性递推序列的集合，并令 \begin{equation*} \mathcal{R}(f) := \big\{\rho(\mathbf{x}; m) : \mathbf{x} \in \mathcal{L}(f), \, m \in \mathbb{Z}^+ \big\} , \end{equation*} 其中 $\rho(\mathbf{x}; m)$ 是 $\mathbf{x}$ 模 $m$ 的不同剩余个数。Dubickas 和 Novikas 证明了 $\mathcal{R}(X^2 - X - 1) = \mathbb{Z}^+$。我们推广了这一结果，证明对于每个非零整数 $a_1$，有 $\mathcal{R}(X^2 - a_1 X - 1) = \mathbb{Z}^+$。作为推论，我们推导出对于所有整数 $a_1 \geq 1$ 和 $k \geq 4$，存在 $\xi \in \mathbb{R}$ 使得分数部分序列 $\big(\!\operatorname{frac}(\xi \alpha^n)\big)_{n \geq 0}$（其中 $\alpha := \big(a_1 + \sqrt{a_1^2 + 4}\,\big) / 2$）恰好有 $k$ 个极限点。我们的证明是构造性的，并利用了关于某些 Lehmer 序列的特殊本原除数存在性的结果。