矩阵 $p\rightarrow q$ 范数的不可近似性

我们研究计算矩阵 $A \in R^{m \times n}$ 的 $p\rightarrow q$ 范数的问题，其定义为 $$\|A\|_{p\rightarrow q} ~:=~ \max_{x \,\in\, R^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_q}{\|x\|_p}$$ 该问题推广了矩阵谱范数（$p=q=2$）和 Grothendieck 问题（$p=\infty$，$q=1$），并已在多种参数情形下被广泛研究。当 $p \geq q$ 时，问题呈现二分性：若 $2 \in [q,p]$ 则已知常数因子近似算法，而当 $2 \notin [q,p]$ 时问题难以在近乎多项式因子内近似。当 $p < q$ 的情形，称为\emph{超收缩范数（hypercontractive norms）}，对多种应用尤为重要但理解甚少。[Barak 等人, STOC'12] 研究了 $p = 2$ 且 $q > 2$ 的情形，给出了该问题承诺版本（涵盖小集合扩张）的次指数算法，并基于指数时间假设证明了不可近似性结果。然而，对于这些 $p < q$ 的问题，尚无已知的 NP-困难近似结果。我们研究上述两类情形下矩阵范数的近似困难性，并证明如下结果：- 我们证明对任意 $1< p < q < \infty$ 且 $2 \notin [p,q]$，$\|A\|_{p\rightarrow q}$ 在假设 $NP \not\subseteq BPTIME(2^{\log^{O(1)}\!n})$ 下难以在 $2^{O(\log^{1-\epsilon}\!n)}$ 内近似。这表明，类似于 $p \geq q$ 的情形，当 $2$ 不介于 $p$ 与 $q$ 之间时，超收缩设定可能在性质上有所不同。- 对所有 $p \geq q$ 且 $2 \in [q,p]$，我们证明 $\|A\|_{p\rightarrow q}$ 难以在优于 $1/(\gamma_{p^*} \cdot \gamma_q)$ 的任意因子内近似，其中对任意 $r$，$\gamma_r$ 表示高斯的第 $r$ 范数，$p^*$ 为 $p$ 的对偶范数。