通过全局相关舒展实现矩阵的入射低秩近似与 p → q 范数
数据结构与算法
2026-04-28 v2
摘要
给定矩阵 A，入射低秩近似问题的目标是找到 argmin ||A-B||_p over all rank-k matrices B，其中 ||·||_p 为入射 ℓ_p 范。当 p=2 时，此问题通过奇异值分解求解，但当 p≠2 时，问题变得计算上具有挑战性。对于每一个偶数 p>2 和固定 k，我们给出该问题的第一个多项式时间近似方案，改进了 Ban、Bhattiprolu、Bringmann、Kolev、Lee 和 Woodruff 的 (3+ε) 近似方案，以及 Woodruff 和 Yasuda 的 bi-criteria 近似方案和 Anderson、Bakshi 和 Hopkins 的加法近似方案。基于草图和列选择的先前算法在 p>2 时面临具体障碍。相反，我们使用 Sherali-Adams 层次结构的凸优化，进而为连续优化问题设计多项式时间近似方案建立了蓝图。我们使用相同的算法策略为矩阵 p → q 范数提供新的一族加法近似算法，这些算法与小集扩张和量子信息密切相关。特别是，我们给出 p<2<q 范围内的第一个非平凡加法近似算法。
引用
@article{arxiv.2604.22699,
title = {Entrywise Low-Rank Approximation and Matrix $p \rightarrow q$ Norms via Global Correlation Rounding},
author = {Prashanti Anderson and Ainesh Bakshi and Samuel B. Hopkins},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.22699},
year = {2026}
}
备注
74 pages