正张量的低秩近似与补全

与矩阵情况不同，计算张量的低秩近似通常是 NP 难的且数值病态。即使是张量的最佳秩 -1 近似也是 NP 难的。在本文中，我们利用凸优化开发了用于正张量低秩近似和补全的多项式时间算法。我们的方法是利用代数拓扑为正张量定义一种新的（数值良态的）分解，并证明其在重要情况下等价于标准张量分解。虽然计算这种分解是一个非凸优化问题，但我们证明它可以精确地重构为凸优化问题。这使我们能够构建多项式时间的随机算法来计算这种分解并解决低秩张量近似问题。其后果之一是，正张量的最佳秩 -1 近似可以在多项式时间内计算。接下来，我们将框架扩展到张量补全问题，即观测张量的噪声条目并用于估计缺失条目。我们提供了一种多项式时间算法，对于特定情况，其所需的测量次数是多项式量级（关于张量阶数），而现有方法则需要指数级数量的测量。这些算法被扩展以利用张量中的稀疏性来减少所需测量次数。最后，我们将带有分类变量的统计回归问题新颖地解释为张量补全问题，并通过合成数据和生物工程代谢网络数据的数值示例展示了我们方法在该问题上的改进性能。