关于MAP推断与指数化行列式点过程的若干不可近似性结果

我们研究了行列式点过程（DPPs）上两个困难问题的计算复杂性。其一是最大后验（MAP）推断，即寻找具有最大行列式的主子矩阵。其二是指数化DPPs（E-DPPs）上的概率推断，其可通过指数参数$p$增强或削弱DPPs的多样性偏好。我们给出了若干复杂性理论上的困难性结果，用以解释近似MAP推断及E-DPPs配分函数的难度。我们首先证明，对$n \times n$矩阵的无约束MAP推断，在因子$2^{\beta n}$内近似是$\textsf{NP}$-难的，其中$\beta = 10^{-10^{13}}$。该结果改进了已知最佳不可近似因子$(\frac{9}{8}-\epsilon)$，并在假设$\textsf{P} \neq \textsf{NP}$下排除了任何多项式因子近似算法的存在。接着我们证明，对数行列式最大化在无约束情形下于因子$\frac{5}{4}$内近似是$\textsf{NP}$-难的，而在尺寸约束单调情形下于因子$1+10^{-10^{13}}$内近似是$\textsf{NP}$-难的。特别地，除非$\textsf{P} = \textsf{NP}$，对数行列式最大化不存在多项式时间近似方案。作为首个结果的推论，我们证明对任意（固定的）常数指数$p \geq \beta^{-1} = 10^{10^{13}}$，E-DPPs的配分函数在因子$2^{\beta pn}$内近似是$\textsf{NP}$-难的，这与$p \leq 1$时存在完全多项式时间随机近似方案的情形形成对比。