行列式点过程乘积的归一化常数的计算复杂性

我们考虑行列式点过程（DPPs）的乘积，这是一种概率质量正比于多个矩阵主子式乘积的点过程，作为 DPPs 的一种自然且有前景的推广。我们研究计算其归一化常数的计算复杂性，这是最基本的概率推断任务之一。我们的复杂性理论结果（几乎）排除了该任务存在高效算法的可能性，除非输入矩阵被迫具有有利结构。具体而言，我们证明如下：(1) 对每个（固定的）正偶数 $p$ 精确计算 $\sum_S\det({\bf A}_{S,S})^p$ 是 UP-hard 和 Mod$_3$P-hard 的，这给出了对 Kulesza 和 Taskar 提出的开放问题的否定回答。(2) 对任意 $\epsilon>0$，$\sum_S\det({\bf A}_{S,S})\det({\bf B}_{S,S})\det({\bf C}_{S,S})$ 在因子 $2^{O(|I|^{1-\epsilon})}$ 或 $2^{O(n^{1/\epsilon})}$ 内难以近似，其中 $|I|$ 为输入大小，$n$ 为输入矩阵阶数。该结果强于 Gillenwater 导出的两矩阵情形的 #P-hardness。(3) 存在计算 $\sum_S\det({\bf A}_{S,S})\det({\bf B}_{S,S})$ 的 $k^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间算法，其中 $k$ 为 $\bf A$ 和 $\bf B$ 的最大秩或由其非零项构成的图的树宽。此类参数化算法被称为固定参数易处理的。这些结果可推广到固定大小情形。进一步，我们给出给定树宽为 $w$ 的矩阵 $\bf A$ 时固定参数易处理算法的两个应用：(4) 我们可以在 $w^{O(wp)}n^{O(1)}$ 时间内计算对任意分数 $p>1$ 的 $\sum_S\det({\bf A}_{S,S})^p$ 的 $2^{\frac{n}{2p-1}}$-近似。(5) 我们可以在 $w^{O(w\sqrt n)}n^{O(1)}$ 时间内找到无约束 MAP 推断的 $2^{\sqrt n}$-近似。