DPP 最大似然学习的困难性

行列式点过程（DPPs）是一种广泛用于负相关数据的概率模型。DPPs 已成功应用于机器学习中以选择多样且具代表性的数据子集。在这些应用中，通常期望一组能最大化数据似然的参数。迄今用于此任务的算法要么在受限的 DPP 族上优化，要么使用不提供最优性理论保证的局部改进启发式方法。Kulesza（2011）在其关于机器学习中 DPPs 的开创性工作中猜想该问题是 NP-完全的。缺乏形式化证明促使 Brunel 等人（COLT 2017）提出，与 Kulesza 的猜想相反，可能存在一种多项式时间算法用于计算最大似然 DPP。他们还呈现了一些初步证据，支持一个他们建议可能导向此类算法的猜想。在本工作中我们证明了 Kulesza 的猜想。事实上，我们证明了如下更强的难近似结果：即使在含 $N$ 个元素的基础集上计算 DPP 最大对数似然的 $\left(1-O(\frac{1}{\log^9{N}})\right)$-近似也是 NP-完全的。从技术角度，我们将近似 DPP 最大对数似然的问题归约到求解超图上 \textsc{$3$-Coloring} 问题的间隙实例。该超图基于 Bogdanov 等人（FOCS 2002）的有界度构造，我们使用 Alon 与 Capalbo（FOCS 2007）的强扩展子对其增强。我们证明若秩-$3$ DPP 达到近最优对数似然，其边际核必须编码超图的几乎完美“向量着色”。最后，我们展示在移除一小部分“噪声”边后，这些连续向量可被解码为适当的 $3$-着色。