随机查询复杂度的改进直积定理

直积问题是复杂性理论中的一个基本问题，旨在理解在k个独立输入上计算一个函数的难度如何随k缩放。我们证明了查询复杂度的以下直积定理：如果每个T-查询算法在输入分布$\Mu$上计算布尔函数f的成功概率至多为$1 - \eps$，那么对于$\alpha \leq 1$，每个$(\alpha \eps Tk)$-查询算法在从$\Mu$中独立抽取的k个输入上正确计算k重直积$f^k$的成功概率至多为$(2^{\alpha \eps}(1 - \eps))^k$。鉴于Shaltiel的例子，该陈述给出了查询界限与错误概率之间本质上最优的权衡。作为推论，我们证明对于绝对常数$\alpha > 0$，任何用于$f^k$的$(\alpha R_2(f)k)$-查询随机算法的最坏情况成功概率随k呈指数下降。先前由Klauck、Spalek和de Wolf给出的此类最佳陈述需要$O(bs(f)k)$的查询界限。证明涉及定义和分析与试图求解$f^k$的算法相关联的一组鞅。我们的方法非常通用，为查询模型导出了一个新的XOR引理和阈值直积定理，以及用于学习任务、搜索问题和涉及与动态实体交互的任务的查询复杂度的直积定理。我们还给出了决策树大小作为关注资源时我们直积定理的一个版本。