关于已知阿达马阶数集合的密度

设$S(x)$为存在$n$阶阿达马矩阵的$n \leq x$的个数。阿达马猜想指出$S(x)$约为$x/4$。根据阿达马矩阵的佩利构造，我们有$$S(x) = \Omega(x/\log x)。$$ 在最近的一篇论文中，第一作者提出，对佩利矩阵阶数的乘积进行计数将产生更大的密度。在本文中，我们利用凯文·福特的结果来证明这一点：\begin{equation}\label{eq:abs} S(x) \geq x/\log x \exp((C+o(1))(\log \log \log x)^2)\,, \nonumber \end{equation} 其中$C=0.8178...$。这个界限出人意料地难以改进。我们表明，考虑所有其他主要的已知阿达马矩阵构造方法并不会改变这个界限。我们的论证使用了自然数（乘法）幺半群的概念。我们证明了关于这些对象的一些初步结果。我们的技术可能有助于评估设计理论中其他存在性问题的状态。