$4 \times 4$ 矩阵 Hadamard 乘积分解的计算求解

我们通过计算解决了一个关于 $4 \times 4$ 满秩矩阵表示为两个秩 2 矩阵的 Hadamard 乘积的可表达性的开放问题。通过对 $\mathbb{F}_2$ 的穷举搜索，我们在 20,160 个满秩二元矩阵中识别出 5,304 个反例 (26.3\%)。我们通过符号枚举验证了这些反例在 $\mathbb{Z}$ 上仍然成立，并为其在 $\mathbb{R}$ 上的有效性提供了强有力的数值证据。值得注意的是，我们的分析表明，矩阵密度（1 的数量）对可表达性具有高度预测性，分类准确率达到 95.7\%。利用现代机器学习技术，我们发现可表达的矩阵位于 16 维环境空间中一个约 10 维的簇上，尽管两个 $4 \times 4$ 秩 2 矩阵的朴素参数计数为 24（每个 12 个参数）。这种涌现的低维结构表明存在支配 Hadamard 可分解性的深刻代数约束。