单位根矩阵的最大行列式

我们研究以 $\ell$ 次单位根为元素的矩阵行列式绝对值的最大值；这是 $D$-最优设计和涉及 $\pm 1$ 矩阵的 Hadamard 最大行列式问题的推广。对于一般的 $\ell$ 值，我们给出了更精确的行列式上界以及大行列式矩阵的构造。$\ell = 3$ 和 $\ell = 4$ 情形下的最大行列式问题与元素为 $\pm 1$ 的矩阵的经典 Hadamard 最大行列式问题类似，且许多技术可以被推广。对于 $\ell = 3$，我们给出了大行列式矩阵的额外构造，并计算了所有阶数 $n < 14$ 下 $\mu_3$ 上的最大行列式值。此外，我们综述了 $\ell = 4$ 的情形，并展示了四次单位根上一族无穷多的最大行列式矩阵。