15阶极大{-1,1}-行列式

我们研究求取元素取自{-1,1}的奇数阶矩阵的极大行列式的问题。由Barba给出的关于极大行列式的最一般上界，仅当阶数为两个连续平方数之和时方可达到。有人猜想在此类情况下该上界总能达到。除此之外，仅在阶数3、7、9、11、17和21时已确定其极大值。本文中我们确认了这些阶数的结果，并将15阶加入该列表。我们沿用先前作者的做法，穷举搜索行列式不小于已知最大下界之平方的候选Gram矩阵。然后我们尝试将每个候选矩阵分解为一个{-1,1}-矩阵与其转置的乘积。对于15阶，我们找到四个候选矩阵，均为Ehlich分块形式，其中两个的行列式为(105*3^5*2^14)^2，其余两个的行列式为(108*3^5*2^14)^2。前者之一可分解（本质上唯一），而其余三个不可分解。这一结果证明了W. D. Smith与J. H. E. Cohn各自独立提出的一个猜想。我们还用我们的方法计算了29、33和37阶极大行列式的改进上界，并确定了9阶和11阶{-1,1}-矩阵行列式函数的值域。