通过概率方法给出 $\pm 1$ 矩阵最大行列式的下界

我们证明了 $n \times n$ ${\pm 1}$-矩阵的最大行列式 $D(n)$ 满足 $R(n) := D(n)/n^{n/2} \ge \kappa_d > 0$。此处 $n^{n/2}$ 为 Hadamard 上界，$\kappa_d$ 仅依赖于 $d := n-h$，其中 $h$ 是满足 $h \le n$ 的 Hadamard 矩阵的最大阶数。此前关于 $R(n)$ 的下界同时依赖于 $d$ 和 $n$。对于所有足够大的 $n$，若 $d > 1$，我们的界限有所改进。我们给出了各种仅依赖于 $d$ 的 $R(n)$ 下界。例如，$R(n) \ge 0.07 (0.352)^d > 3^{-(d+3)}$。对于任意固定的 $d \ge 0$，当 $n$ 足够大时（且推测对所有正整数 $n$），有 $R(n) \ge (2/(\pi e))^{d/2}$。如果 Hadamard 猜想成立，则 $d \le 3$ 且 $\kappa_d \ge (2/(\pi e))^{d/2} > 1/9$。