关于Hadamard矩阵的渐近存在性
组合数学
2010-03-23 v1 数论
摘要
猜想对所有阶数4t (t>0)都存在Hadamard矩阵。然而，尽管经过五十多年的持续努力，最强的整体存在性结果是如下形式的渐近结果：对所有奇数自然数k，存在阶数为k2^{[a+b log_2 k]}的Hadamard矩阵，其中a和b是固定的非负常数。要证明Hadamard猜想，只需证明我们可以取a=2且b=0。自Seberry的开创性结果（表明我们可以取a=0且b=2）以来，已有若干改进，其中b已逐步降至3/8。在本文中，我们证明对所有ε>0，存在阶数为k2^{2+[ε log_2 k]}的Hadamard矩阵的奇数k的集合在自然数集中具有正密度。证明改编了Erdos和Odlyzko的一个数论论证，以表明存在足够多的Paley Hadamard矩阵来得到该结果。
引用
@article{arxiv.1003.4001,
title = {On the Asymptotic Existence of Hadamard Matrices},
author = {Warwick de Launey},
journal= {arXiv preprint arXiv:1003.4001},
year = {2010}
}
备注
Keywords: Hadamard matrices, Asymptotic existence, Cocyclic Hadamard matrices, Relative difference sets, Riesel numbers, Extended Riemann hypothesis. (Received 2 August 2008, Available online 18 March 2009)