极值“坏科学矩阵”的结构

我们研究“坏科学矩阵问题”：在所有行具有单位 $\ell_2$ 范数的矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 中，确定 $\beta(A)=\frac{1}{2^n}\sum_{x\in\{\pm1\}^n}\|Ax\|_\infty$ 的最大值。Steinerberger [1] (arXiv:2402.03205) 证明了最优渐近速率为 $(1+o(1))\sqrt{2\log n}$，并且该速率在归一化后由具有独立同分布 $\pm1$ 元素的矩阵以高概率达到。更近期的显式构造 [2] (arXiv:2408.00933) 实现了 $\beta(A)\ge\sqrt{\log_2(n)+1}$，与渐近最优值相差一个常数因子。在本文中，我们弥合了概率方法与显式方法之间的差距。我们给出了极值化子的几何描述，即由 $A$ 的行诱导的 $n$ 维超立方体的（近乎）等周极值划分。通过如 Fang、Koike、Liu 和 Zhao [16] (arXiv:2305.17365) 那样，将 $\beta(A)$ 的最大化用高维中心极限定理的语言重新表述，我们获得了启发式构造的精确速率。利用这些联系，我们提出了一族显式确定性矩阵 $A_n$，在 Hadamard 猜想假设下对所有 $n$ 存在，且无条件地对无穷多个 $n$ 存在，使得对所有足够大的 $n$，有 $\beta(A_n)\ge\bigl(1 - \frac{\log\log(2n)}{4\log(2n)}\bigr)\sqrt{2\log(2n)}$。