实 Ginibre 与绝对连续扰动下的重叠、特征值间隙与伪谱

设 $G_n$ 为元素为实独立同分布 $N(0,1/n)$ 的 $n \times n$ 矩阵，设 $A$ 为 $\Vert A \Vert \le 1$ 的实 $n \times n$ 矩阵，并设 $\gamma \in (0,1)$。我们证明以概率 $0.99$，$A + \gamma G_n$ 的所有特征值条件数均以 $O\left(n^{5/2}/\gamma^{3/2}\right)$ 为界，且特征向量条件数以 $O\left(n^3 /\gamma^{3/2}\right)$ 为界。此外，我们证明对任意 $s > 0$，$A + \gamma G_n$ 有两个特征值彼此距离不超过 $s$ 的概率为 $O\left(n^4 s^{1/3}/\gamma^{5/2}\right)$。事实上，我们证明上述结论在更一般的非高斯扰动设定下也成立：扰动具有实值、独立、绝对连续的条目，满足有限矩假设并适当归一化。这推广了先前的工作 [Banks et al. 2019]，其在更简单的{\em 复}独立同分布高斯矩阵扰动情形下证明了特征向量条件数界 $O\left(n^{3/2} / \gamma\right)$。实扰动情形因实随机向量相较复随机向量更弱的反集中性质而带来若干挑战。我们证明的一个关键要素是复平移 $z-(A+\gamma G_n)$ 的小奇异值的新下尾界，当 $\Im z\neq 0$ 时其恢复了复 Ginibre 系综的尾行为。这给出了伪谱 $\Lambda_\epsilon(A+\gamma G_n)$ 面积关于伪谱参数 $\epsilon>0$ 的锐控制，足以通过极限论证界定重叠与特征向量条件数。