伪谱的高斯正则化与戴维斯猜想

一个矩阵 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 若有一组线性无关的特征向量基，则是可对角化的。由于不可对角化矩阵的集合测度为零，每个 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 都是可对角化矩阵的极限。我们证明了 E.B. Davies 猜想的此事实的一个量化版本：对每个 $\delta\in (0,1)$，每个矩阵 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 至少与一个其特征向量条件数最差为 $c_n/\delta$ 的矩阵相距 $\delta\|A\|$，其中 $c_n$ 是仅依赖于 $n$ 的常数。我们的证明使用随机矩阵理论工具，表明 $A$ 的伪谱可通过添加一个复高斯扰动得以正则化。在此过程中，我们解释了 Śniady 一个定理的变体如何蕴含 Sankar、Spielman 和 Teng 关于条件数平滑分析最优常数的一个猜想。