椭圆实Ginibre系综中几乎所有特征值为实的概率

我们研究了大小为$n$的实椭圆Ginibre矩阵的实特征值，该矩阵由非对称参数$\tau \in [0,1]$索引。在强非厄米和弱非厄米区域（分别对应$\tau \in [0,1)$固定或$1-\tau=O(1/n)$），我们推导了除有限个$2l$个特征值外所有特征值均为实的概率$p_{n,n-2l}$的渐近展开。特别地，我们证明了展开形式为\begin{align*} \log p_{n, n-2l} = \begin{cases} a_1 n^2 +a_2 n + a_3 \log n +O(1) &\text{在强非厄米情形}, \ b_1 n +b_2 \log n + b_3 +o(1) &\text{在弱非厄米情形}, \end{cases} \end{align*} 并显式确定了所有系数。此外，在$l=1$的特殊情况下，我们推导了全阶展开。在证明中，我们对强非厄米和弱非厄米区域采用了不同的方法。在前一种情形中，我们利用位势理论技术分析条件具有$n-2l$个实特征值的椭圆Ginibre矩阵的自由能，并结合强Szegő极限定理。在后一种情形中，我们利用斜正交多项式形式体系和Hermite多项式的渐近行为。