复高斯矩阵乘积的空穴概率与过拥挤估计

我们考虑 $n$ 个非厄米独立随机矩阵乘积的本征值。该乘积中的每个矩阵大小为 $N\times N$，元素为独立的标准复高斯变量。此类乘积的本征值在复平面上构成一个行列式点过程（Akemann 和 Burda, J. Phys A: Math. Theor. 45 (2012) 465201），可理解为有限 Ginibre 系综的推广。当 $N\to\infty$ 时，出现广义无限 Ginibre 系综。我们证明，该行列式过程点的绝对值集合具有与 $\{R_1^{(n)}, R_2^{(n)}, \dots\}$ 相同的分布，其中 $R_k^{(n)}$ 相互独立，且 $(R_k^{(n)})^2$ 服从 $n$ 个独立 Gamma 变量 Gamma$(k,1)$ 的乘积分布。这使得我们能够求出空穴概率的渐近行为，即当 $r\to\infty$ 时，过程中在以 0 为中心、半径为 $r$ 的圆盘内没有点的概率。此外，我们解决了相关的过拥挤问题：推导出了当 $m\to\infty$ 时，过程中在以 0 为中心、固定半径 $r$ 的圆盘内有多于 $m$ 个点的概率的渐近公式。