椭圆随机矩阵实特征值的大偏差与涨落

我们研究了 $N\times N$ 实椭圆 Ginibre 矩阵在强非厄米与弱非厄米两种情形下由非厄米性参数 $0\leq \tau<1$ 索引的实特征值，此处假定 $N$ 为偶数。在两种情形下，我们证明了实特征值个数的中心极限定理。我们还得到了恰有 $k$ 个特征值为实数的概率 $p_{N,k}^{(\tau)}$ 的渐近行为。在 $\tau$ 固定的强非厄米情形下，对任意满足当 $N\to\infty$ 时 $k_N = o(\frac{\sqrt N}{\log N})$ 的偶数序列 $(k_N)_N$，我们有 \begin{align*} \lim_{N\to\infty} \frac{1}{\sqrt{N}} \log p_{N,k_N}^{(\tau)} = -\sqrt\frac{1+\tau}{1-\tau} \frac{\zeta(3/2)}{\sqrt{2\pi}} \end{align*}，其中 $\zeta$ 为黎曼 zeta 函数。在 $\tau=1-\frac{\alpha^2}{N}$ 的弱非厄米情形下，对任意满足当 $n\to\infty$ 时 $k_N=o(\frac{N}{\log N})$ 的偶数序列 $(k_N)_N$，我们获得 \begin{align*} \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \log p_{N,k_N}^{(\tau)} \leq \frac{2}{\pi} \int_0^1 \log\left(1-e^{-\alpha^2 s^2}\right) \sqrt{1-s^2} \, ds \end{align*}。该不等式预期取等号。