非对称Wishart矩阵的实特征值：期望个数、全局密度与可积结构

我们研究非对称Wishart矩阵的实特征值，矩阵大小为$N$，由矩形参数$\nu \in \mathbb{N}$和非厄米性参数$\tau \in [0,1]$索引。矩形参数$\nu$要么固定，要么与$N$成正比。非厄米性参数$\tau$要么固定，要么$\tau = 1 - O(1/N)$，分别对应强非厄米和弱非厄米范数。我们建立了有限$N$实特征值相关核的分解结构，这些特征值形成Pfaffian点过程。取对称极限$\tau = 1$，该模型简化为拉盖尔正交群，在该情况下，本分解结构简化为Adler、Forrester、Nagao和van Moerbeke所及Widom所建立的已知秩一扰动结构。利用该分解结构，我们显示在强非厄米范数下，实特征值的期望个数与$\sqrt{N}$成正比，而在弱非厄米范数下，则与$N$成正比，给出两种情况下的显式主导系数。此外，我们推导了极限实特征值密度，这在对称极限下恢复了马兆戈-帕斯图分布。