完善实 Wishart 矩阵最小特征值的图景

具有高斯分布的矩形实 $N \times (N + \nu)$ 矩阵 $W$ 频繁出现在数据分析、凝聚态物理和量子场论中。一个核心问题涉及 $WW^T$ 谱统计中编码的相关性。$W W^T$ 的极端特征值尤其令人关注。我们显式计算了该系综中最小非零特征值的分布和间隙概率，既针对任意固定的 $N$ 和 $\nu$，也针对 $\nu$ 固定时的普适大 $N$ 极限。我们揭示了一个对所有偶数 $\nu\geq 0$ 均有效的可积 Pfaffian 结构。这扩展了此前关于无限 $N$ 下奇数 $\nu$ 的结果，以及有限 $N$ 和所有 $\nu$ 下的递归结果。我们的数学成果包括特征多项式半整数幂期望值的计算。